Ejercicios
1. Leer valores que representan años e indique si son o no años bisiestos. El programa seguirá leyendo años hasta un máximo de 10 o hasta que haya leido 3 años bisiestos. Recuerde, una vez más, la regla:
"Un año es bisiesto si es divisible por 400, o bien si es divisible por 4 pero no por 100"
Por ejemplo, el año 2000 es bisiesto (es divisible por 400), el año 1992 es bisiesto (es divisible por 4 y no por 100), y el año 2100 no es bisiesto (es divisible por 4 y también por 100).
2. Imprimir la tabla de multiplicar de un número dado. El funcionamiento del programa se muestra en el siguiente ejemplo de ejecución.
Introduzca un número: 5
La tabla de multiplicar del 5 es:
5 x 1 = 5
5 x 2 =10
...
5 x 10 =50
3. Dadas las notas de n estudiantes correspondientes al segundo examen de Algoritmo y Programación en el rango de 0 a 20. Calcular el número de estudiantes sobresalientes (16-20), el número de estudiantes satisfactorios (10-15) y el número de estudiantes no satisfactorios (0-9).
4. Calcular el máximo común divisor de n pares de números (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn) mediante el algoritmo de Euclides:
Sean los números A y B. El método para hallar el máximo común divisor (mcd) de dos números A y B por el método de Euclides es:
Dividir el número mayor por el menor. Si el residuo de la división es 0, el número menor es el mcd.
Si la división no es exacta, se divide el número menor por el residuo de la división anterior.
Se siguen los pasos anteriores hasta obtener un resto cero. El último divisor es el mcd buscado.
5. En un curso de informática se han realizado dos exámenes diferentes, A y B, entre sus 50 alumnos, (alumnos impares, examen A; alumnos pares, examen B. Se desea saber la nota media de cada examen.
6. Leer una serie de números desde el teclado, introducir -999 para terminar de ingresar los números desde el teclado, y calcular la media.
7. Calcular el factorial de N números leídos por teclado.
8. Se desea obtener los cuadrados de todos los números ingresados por teclado hasta que se lea el número 0.
9. Un triángulo rectángulo puede tener lados que sean enteros. El conjunto de tres valores enteros para los lados de un triángulo rectángulo es una tripleta pitagórica. Estos tres lados deben satisfacer la relación de que la suma de los cuadrados de dos de los lados (cateto1, cateto2) es igual al cuadrado de la hipotenusa. Encontrar todas las tripletas pitagóricas tal que cateto1 < 500, cateto2 < 500 e hipotenusa < 500.
10. Escribir un algoritmo que encuentre los 2 primeros números perfectos pares y los 2 primeros números perfectos impares.
Un número perfecto es un entero positivo, que es igual a la suma de todos los enteros positivos (excluido el mismo) que son divisores del número. EL primer número perfecto es 6, ya que los divisores de 6 son 1, 2, 3 y 1+2+3=6
11. Escribir un algoritmo que determina y escriba la descomposición factorial de los números enteros comprendidos entre 1900 y 2000.
12. Escribir un algoritmo que calcule y visualice el más grande, el más pequeño y la media de los N números. El valor de N se solicitará al principio del programa y los números serán introducidos por el teclado.
13. Escribir un algoritmo que encuentre el primer número primo introducido por teclado.
14. Calcular y escribir los cuadrados de una serie de números distintos de cero leídos desde el teclado.
15. Desarrollar un algoritmo que determine en un conjunto de 100 números enteros, ¿Cuántos son menores de 15, mayores de 50 y cuantos están comprendidos entre 45 y 55?
miércoles, 7 de septiembre de 2011
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA RESUELTOS
1. Halle la ecuación de la recta que sea perpendicular a la recta 2x+7y-3=0
En su punto de intercepción con la recta 3x-2y+8=0
1.1 2x+7y-3=0 1.2 3x-2y+8=0
7y=-2x+3 2y=3x+8
y=(-2x+3)/7 y=(3x+8)/2
Se igualan las dos ecuaciones para hallar el punto de intersección
(-2x+3)/7 = (3x+8)/2
-2(-2x+3)=7(-3x-8)
4x-6=-21x-56
4x+21x=-56+6
25x=-50
x=(-50)/25=-2
Reemplazamos el valor de x en una de las dos ecuaciones para hallar el valor de y
y=(-2(-2)+3)/7=1
Hallamos la pendiente de la recta pedida
m1*m2=-1
(-2)/7*m2=-1
m2=7/2
Aplicamos ecuación punto pendiente
y-y_1=m(x-x_1)
y-1=7/2(x-(-2))
y-1=(_2^7)x+14/2
y=(_2^7)x+8
RTA. y=(_2^7)x+8
2. Halle la ecuación de la recta con pendiente (-3)/4 y que forme con los ejes de coordenadas (x,y) un triangulo de area 24 unidades de superficie.
Sabemos que área es igual:
A=(b*h)/2
A=(x*y)/2
Y como el área es 24 unidades, entonces remplazamos en la formula y despejamos y.
2(24)=x*y
48=x*y
y=48/x
Hallamos la pendiente en y2=0 y x1=0
m=(y2-y1)/(x2-x1)
m=(y(0)-y)/(x-x(0))
Nos queda
m=(-y)/x
Como ambas son la pendiente de una misma recta, estas deben ser la misma, entonces las igualamos
(-3)/4=(-y)/x
3/4 x=y
Remplazamos y
y=48/x
3/4 x=48/x
x^2=(4(48))/3
x^2=64
x=√64
x=8
Reemplazamos a x en la ecuación
y=48/x
y=48/8
y=6
Obteniendo los valores de X y Y los remplazamos en la ecuación de la recta.
y-y1 = m(x-x1)
y-6 = (-3)/4(x-0)
y-6 = (-3)/4 x
y= (-3)/4 x+6
3. Halle la ecuacion de la circunferencia circunscrita al triangulo cuyos lados son las rectas:
x + y = 8
2x + y = 14
3x + y = 22
tomamos las ecuaciones y despejamos y
x + y = 8
y = 8 – x
2x + y = 14
y = 14 – 2x
3x + y = 22
y = 22 – 3x
igualos la ecuacion 1 y 2
8 – x = 14 – 2x
2x – x = 14 – 8
X = 6
Igualamos 1 y 3
8 – x = 22 – 3x
3x – x = 22 – 8
2x = 14
X = 7
Igualamos 2 y 3
14 – 2x = 22 – 3x
3x – 2x = 22 – 14
X = 8
Reemplazo los valores de X en las ecuacion 1
y = 8 – x (1) y = 8 - x y = 14 – 2x
y = 8 – 6 y = 8 – 7 y = 14 – 2 (8)
y = 2 y = 1 y = -2
Entonces los puntos del triangulo son (6,2) (7,1) y (8,-2)
Ahora la ecuacion de la circunsferencia es x2 + y2 + Cx + Dy + E = 0
Reemplazo los valores de X y Y
(6,2) entonces
62 + 22 + 6C+ 2D + E = 0
36 + 4 + 6C + 2D + E = 0
6C + 2D + E = -40 (1.1)
(7,1) entonces
72 + 12 + 7C + 1D + E = 0
49 + 1 + 7C + D + E = 0
7C + D + E = -50 (1.2)
(8,-2) entonces
82 + (-2)2 + 8C + (-2)D + E = 0
64 + 4 + 8C + 2D + E = 0
8C + 2D + E = -68 (1.3)
Despejamos E en (1.1)
E = - 6C – 2D – 40 *
Reemplazo * en (1.2)
7C + D + ( -6C – 2D – 40) = -50
7C -6C + D -2D = -50 + 40
C – D = -10
Despejo C
C – D = -10
C = -10 + D
Reemplazo * en (1.3)
8C – 2D + (- 6C – 2D – 40) = -68
8C -6C -2D -2D = -68 + 40
2C – 4D = -28
Luego reemplazo el valor de C en 2C – 4D = -28
2 (D – 10) – 4D = - 28
2D – 20 – 4D = -28
-2D = - 8
D = 4
Reemplazo el valor de D en C = -10 + D
C = -10 + 4
C = -6
Luego reemplazo el valor de C y D en * para hallar el valor de E
E = -6C -2D -40
E = -6(-6) -2(4) – 40
E= 36 – 8 -40
E = -12
La ecuecion de la circunferencia es:
x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0
4. Halle la ecuación de la circunferencia que pase por los puntos (1, -4) y (5,2) y cuyo centro está situado en la recta x – 2y + 9 = 0
D1 = √((h-x)^2+ 〖(k-y)〗^2 ) D2 = √((h-x)^2+ 〖(k-y)〗^2 )
D1= √((1-h)^2+ 〖(-4-k)〗^2 ) D2 = √((5-h)^2+ 〖(2-k)〗^2 )
D1 = D2
√((1-h)^2+ 〖(-4-k)〗^2 ) = √((5-h)^2+ 〖(2-k)〗^2 )
(1 – h)2 + (-4 – k)2 = (5 – h)2 + (2 – k)2
1 – 2h – h2 + 16 + 8k + k2 = 25 – 10h + h2 + 4 – 4k + k2
10 h – 2h + 8k + 4k = 25 – 17 + 4
8h + 12k = 12 *
Como el centro esta dada en la ecuacion x – 2y + 9 = 0 reemplazamos a X por h y Y por k y nos queda
X – 2y + 9 = h – 2k +9
Despejamos h
h = 2k- 9 **
luego reemplazo el valor de h en * para hallar el valor de k
8(2k – 9) + 12k = 12
16k – 72 + 12k = 12
28k = 84
K = 3
Reemplazo el valor de k en ** para hallar el valor de h
h = 2 (3) – 9
h = - 3
centro es igual a (-3,3)
Hallamos el radio
r = √((1+3)^2+ 〖(-4-3)〗^2 )
r = √((4)^2+ 〖(-7)〗^2 )
r = √(16+ 49)
r = √65
5. Halle la ecuacion de la parabola cuyo eje de simetria sea paralelo al eje X y que pase por los puntos (3, 3) (6, 5) y (6, -3).
Conocemos que una formula de la parabola es:
y^2+ax+by+c=0
Entonces remplazamos los puntos en la formula
Para (3, 3) reemplazamos los valores
〖(3)〗^2+a(3)+b(3)+c=0
9+3a+3b+c=0
3a+3b+c= -9 (1)
Para (6, 5) reemplazamos los valores
〖(5)〗^2+a(6)+b(5)+c=0
25+6a+5b+c=0
6a+5b+c= -25 (2)
Para (6, -3) reemplazamos los valores
〖(-3)〗^2+a(6)+b(-3)+c=0
9+6a-3b+c=0
6a-3b+c= -9 (3)
Formamos sistemas de ecuaciones 3x3 para hallar los valores
3a+3b+c= -9 (1)ecu
6a+5b+c= -25 (2)ecu
6a-3b+c= -9 (3)ecu
Despejamos en (1) y (2)
3a+3b+c= -9
-6a-5b-c= 25 (-1)
-3a-2b = 16 (4)ecu
Despejamos en (2) y (3)
6a+5b+c= -25
-6a+3b-c= 9 (-1)
8b = -16
b = (-16)/8
b = -2
Reemplazamos b en (4)
-3a-2b = 16
-3a-2(-2) = 16
-3a+4 = 16
-3a = 16-4
a = 12/(-3)
a = -4
Reemplazamos a y b en (1)
3a+3b+c = -9
3(-4)+3(-2)+c= -9
-12-6+c = -9
c = -9+12+6
c =9
la ecuacion de la parabola es
y^2-4x-2y+9=0
6. Demuestre que la distancia desde el punto ( 6,2√6+2 ) de la parabola
y^2-4y-8x+28=0 hasta se foco es igual a la distancia que hay desde el mismo punto hasta la directriz.
De la ecuacion de la parabola completamos cuadrdados.
y^2-4y-8x+28=0
y^2-4y = 8x-28
y^2-4y+4-4 = 8x-28
y^2-4y+4 = 8x-24
〖(y-2)〗^2 = 8(x-3)
k=2 h=3
4a=8 a=2
Hallamos la directriz.
x=h-k
x=3-2
x=1
Hallamos el foco según la formula
F(h+a,k)
F(3+2,2)
F(5,2)
Hallamos la distancia que hay desde el punto hasta el foco y la distancia que hay desde el punto hasta la directriz.
PF =√(〖(6-5)〗^2+〖(2√6+2-2)〗^2 )
PF= √(1+24)
PF= √25
PF= 5
PD=√(〖(2√(6 )+2-2√(6 )+2)〗^2+〖(1-6)〗^2 )
PF= √25
PF= 5
Son iguales.
7. Dada la elipse con ecuacion 9x2 + 16y2 – 36x + 96y + 36 = 0, halle
Las coordenadas del centro
El eje mayor y el menor
Las coordenadas de los vertices y los focos
Dibuje la elipse
Reorganizamos los terminos
(9x2 – 36x) + ( 16y2 + 96y) = -36
9 (x2 - 4x) + 16 (y2 + 6y) = - 36
9 (x – 2)2 – 36 + 16 (y + 3)2 – 144 = - 36
9 (x – 2)2 + 16 (y + 3)2 = 144
〖(9 (x – 2))/144〗^2+ 〖(16 (y + 3))/144〗^2 = 144/144
〖( (x – 2))/16〗^2+ 〖( (y + 3))/9〗^2= 1
a2 = 16 b2 = 9
a = 4 b = 3
c2 = a2 – b2
c2 = 16 – 9
c2 = 7
c = √7
el centro (h,k) es (2, -3)
eje mayor es x y el eje menor es y
las coordenadas del vertice y focos son:
foco = ( 2 √(7 ) , -3)
vertice = (h-a,k),(h+a,k),(h,k-b),(h,k+b) entonces(-2,-3)(6,-3)(2,-6)(2,0)
8.Dada la hiperbola 9x2 – 16y2 - 36x – 32y – 124 = 0, halle:
Las coordenadas del centro
Las coordenadas de los vertices y los focos
Las ecuaciones de las directrices y las asintotas
Dibuje la hiperbola
Reorganizamos los terminos
(9x2 – 36x) - ( 16y2 - 32y) = 124
9 (x2 - 4x) - 16 (y2 + 2y) = 124
9 (x – 2)2 – 36 - 16 (y + 1)2 – 16 = 124
9 (x – 2)2 - 16 (y + 1)2 = 124 + 52
9 (x – 2)2 - 16 (y + 1)2 = 176
〖(9 (x – 2))/176〗^2+ (〖-(16 (y + 1))/176〗^2) = 176/176
〖( (x – 2))/(176/9)〗^2- 〖( (y + 1))/11〗^2= 1
a2 = 176/9 b2 = 11
a = (4 √(1 1))/3 b = √11
c2 = a2 – b2
c2 = 176/9 – 11
c2 = 77/9
c = ( √77)/3
el centro (h,k) es (2, -1)
eje mayor es x y el eje menor es y
las coordenadas del vertice y focos son:
foco = ( 2 ( √77)/3 , -1)
vertice = = (-a,k),(a,k),(h,b),(h,-b) entonces (-(4 √(1 1))/3,-1)( (4 √(1 1))/3 ,-1)(2, √11)(2,- √11)
9. Resuelva la siguiente desigualdad y represente gráficamente el intervalo solución x^2-x-2≤0
Factor izando la ecuación nos queda:
(x-2)(x+1)≤0
x-2=0 ==> x=2
x+1=0 ==> x=-1
(x-2)(x+1)≤0=> [-1,2]
10. Halle el dominio de las siguientes funciones empleando notación conjuntos y notación de intervalos
a)f(x)=1/√(16-x^2 )
16-x^2>0 ==> 16>x^2 ==>√16>√(x^2 ) ==> 4>|x|
4<|x| ==> -4 16≥x^2
√(x^2 )≤√16
|x|≤4 ==> -4≤x≤4
x^2-4≥0
Nos queda
x^2≥4 ==>√(x^2 )≥√4==>|x|≥2
√(x^2-4)-1≠0==>√(x^2-4)≠1
Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación
Nos queda
[√(x^2-4)]^2≠(1)^2
Eliminando raíz cuadrada
[√(x^2-4)]^2≠(1)^2
Nos queda
x^2-4≠1
x^2≠1+4 ==>x^2≠5
Sacando raíces
√(x^2 )≠±√5
Nos queda
x≠±√5
Dom f(x)={x∈ R/ -4≤x≤-2, 2≤x≤4, x≠√5, x≠√(-5)
Dom f(x)=[-4,√(-5))U(√5,-2]U[2,√5)U(√5,4]
11. Exprese mediante una función de una variable independiente el área del rectángulo que tiene dos vértice en el eje X y los otros en la parábola y=16-x^2 por arriba del eje X.
El área rectangular según la grafica
A=(2x)ypero como y=16-x^2
Nos queda:
A=2x(16-x^2)
A_((x))=32x-2x^3
12. Una pista de patinaje de 400m de longitud tiene lados paralelos y extremos semicirculares, tal como se muestra en la figura. Exprese el área A encerrada por la pista en función del diámetro d de los semicírculos.
Tenemos que sea l el largo y d el diámetro de la pista, el perímetro p de la misma viene dado por
P= 400=2l+��d
De la cual despejamos l
L=200-��d/2 (1)
Por su parte el área A encerrada está dada por la fórmula
A = ��°+��∎
A = dl + ��r^2
A=dl + ��(d/2)^2
A = dl + π (d^2/4)
Que reemplazando l por su valor hallado en (1) nos deja el área en función de d
A(d)=d(200- π (d/2))+ π (d^2/4)
A(d)=200d - π (d^2/2) + π (d^2/4)
A(d)=200d - π (d^2/4)
13. Una ventana inglesa tiene forma de un rectángulo coronado con un triangulo equilátero tal como se muestra en la figura. Si el perímetro de la ventana es 30m. Exprese el área A de la ventana en función de su ancho x
Calculamos el perímetro e igualamos con la restricción dada
p=3x+2h=30 (1)
El área total consta de dos partes:
a. El área del rectángulo
AR = xh
b. El área del triángulo superior
Para calcular esta área usamos el teorema de Pitágoras para conocer la altura h ̅:
x^2=h ̅^2+(x/h)^2→(h ̅ )^2=x^2-x^2/4=3/4 x^2→h ̅=√3/2 x
El área del triangulo es:
A_T=1/2*x*√3/2 x=√3/4 x^2
El área total es:
A=A_R+A_T=xh+√3/4 x^2 (2)
Despejamos de (1) la variable h y obtenemos
h=15-3/2 x
Sustituimos por este valor en (2)
A=x(15-3/2 x)+√3/4 x^2=15x-3/2 x^2+√3/4 x^2=(-6+√3)/4 x^2
14. El gerente de una fábrica de refrigeradores observa que el lunes la empresa fabrica 30 refrigeradores a un costo de 25000 dólares y el martes fabrica 40 refrigeradores a un costo de 30000 dólares.
Halle la función lineal del costo
Si se venden los refrigeradores a 1500 dolares cada uno ¿Cuál es la función lineal de ingreso?
¿Cuál es la función lineal de utilidad?
¿Cuántos refrigeradores debe vender la empresa por dia para alcanzar el punto de equilibrio?
x≡ Numero de refrigeradores fabricados
y≡ Costo de la fabricación
Ahora:
x=30 ==>y=25000 (*)
x=40 ==>y=30000 (**)
(30,25000) y (40,30000)
Suponiendo la utilidad
Nos queda
m=(y_(2-) y_1)/(x_2 〖-x〗_1 )
Tomando como X1 y Y1a (*)
Nos queda
(30000-25000)/(40-30)=5000/10
m=500
Tomando como X1 y Y1 a (*)
y-y_1=m(x-x_1)
Remplazando valores
y-25000=500(x-30) ==>y=500x-15000+25000
y=C(x) ==>C(x)=10000+500x
p=1500
p(x)≡ Ingreso recibido por cada “X” refrigeradores
Entonces
p(x)=1500x
U(x)≡ Utilidad ==>U(x)=R(x)-c(x)=1500x(500x+10000)
U(x)=1000x-10000
PEse alcanza si y solo si la utilidad es igual a 0
Por lo tanto nos queda la siguiente ecuación
1000x-10000=0 ==>1000x=10000
x=10000/1000
Eso quiere decir que x=10 Refrigeradores
En su punto de intercepción con la recta 3x-2y+8=0
1.1 2x+7y-3=0 1.2 3x-2y+8=0
7y=-2x+3 2y=3x+8
y=(-2x+3)/7 y=(3x+8)/2
Se igualan las dos ecuaciones para hallar el punto de intersección
(-2x+3)/7 = (3x+8)/2
-2(-2x+3)=7(-3x-8)
4x-6=-21x-56
4x+21x=-56+6
25x=-50
x=(-50)/25=-2
Reemplazamos el valor de x en una de las dos ecuaciones para hallar el valor de y
y=(-2(-2)+3)/7=1
Hallamos la pendiente de la recta pedida
m1*m2=-1
(-2)/7*m2=-1
m2=7/2
Aplicamos ecuación punto pendiente
y-y_1=m(x-x_1)
y-1=7/2(x-(-2))
y-1=(_2^7)x+14/2
y=(_2^7)x+8
RTA. y=(_2^7)x+8
2. Halle la ecuación de la recta con pendiente (-3)/4 y que forme con los ejes de coordenadas (x,y) un triangulo de area 24 unidades de superficie.
Sabemos que área es igual:
A=(b*h)/2
A=(x*y)/2
Y como el área es 24 unidades, entonces remplazamos en la formula y despejamos y.
2(24)=x*y
48=x*y
y=48/x
Hallamos la pendiente en y2=0 y x1=0
m=(y2-y1)/(x2-x1)
m=(y(0)-y)/(x-x(0))
Nos queda
m=(-y)/x
Como ambas son la pendiente de una misma recta, estas deben ser la misma, entonces las igualamos
(-3)/4=(-y)/x
3/4 x=y
Remplazamos y
y=48/x
3/4 x=48/x
x^2=(4(48))/3
x^2=64
x=√64
x=8
Reemplazamos a x en la ecuación
y=48/x
y=48/8
y=6
Obteniendo los valores de X y Y los remplazamos en la ecuación de la recta.
y-y1 = m(x-x1)
y-6 = (-3)/4(x-0)
y-6 = (-3)/4 x
y= (-3)/4 x+6
3. Halle la ecuacion de la circunferencia circunscrita al triangulo cuyos lados son las rectas:
x + y = 8
2x + y = 14
3x + y = 22
tomamos las ecuaciones y despejamos y
x + y = 8
y = 8 – x
2x + y = 14
y = 14 – 2x
3x + y = 22
y = 22 – 3x
igualos la ecuacion 1 y 2
8 – x = 14 – 2x
2x – x = 14 – 8
X = 6
Igualamos 1 y 3
8 – x = 22 – 3x
3x – x = 22 – 8
2x = 14
X = 7
Igualamos 2 y 3
14 – 2x = 22 – 3x
3x – 2x = 22 – 14
X = 8
Reemplazo los valores de X en las ecuacion 1
y = 8 – x (1) y = 8 - x y = 14 – 2x
y = 8 – 6 y = 8 – 7 y = 14 – 2 (8)
y = 2 y = 1 y = -2
Entonces los puntos del triangulo son (6,2) (7,1) y (8,-2)
Ahora la ecuacion de la circunsferencia es x2 + y2 + Cx + Dy + E = 0
Reemplazo los valores de X y Y
(6,2) entonces
62 + 22 + 6C+ 2D + E = 0
36 + 4 + 6C + 2D + E = 0
6C + 2D + E = -40 (1.1)
(7,1) entonces
72 + 12 + 7C + 1D + E = 0
49 + 1 + 7C + D + E = 0
7C + D + E = -50 (1.2)
(8,-2) entonces
82 + (-2)2 + 8C + (-2)D + E = 0
64 + 4 + 8C + 2D + E = 0
8C + 2D + E = -68 (1.3)
Despejamos E en (1.1)
E = - 6C – 2D – 40 *
Reemplazo * en (1.2)
7C + D + ( -6C – 2D – 40) = -50
7C -6C + D -2D = -50 + 40
C – D = -10
Despejo C
C – D = -10
C = -10 + D
Reemplazo * en (1.3)
8C – 2D + (- 6C – 2D – 40) = -68
8C -6C -2D -2D = -68 + 40
2C – 4D = -28
Luego reemplazo el valor de C en 2C – 4D = -28
2 (D – 10) – 4D = - 28
2D – 20 – 4D = -28
-2D = - 8
D = 4
Reemplazo el valor de D en C = -10 + D
C = -10 + 4
C = -6
Luego reemplazo el valor de C y D en * para hallar el valor de E
E = -6C -2D -40
E = -6(-6) -2(4) – 40
E= 36 – 8 -40
E = -12
La ecuecion de la circunferencia es:
x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0
4. Halle la ecuación de la circunferencia que pase por los puntos (1, -4) y (5,2) y cuyo centro está situado en la recta x – 2y + 9 = 0
D1 = √((h-x)^2+ 〖(k-y)〗^2 ) D2 = √((h-x)^2+ 〖(k-y)〗^2 )
D1= √((1-h)^2+ 〖(-4-k)〗^2 ) D2 = √((5-h)^2+ 〖(2-k)〗^2 )
D1 = D2
√((1-h)^2+ 〖(-4-k)〗^2 ) = √((5-h)^2+ 〖(2-k)〗^2 )
(1 – h)2 + (-4 – k)2 = (5 – h)2 + (2 – k)2
1 – 2h – h2 + 16 + 8k + k2 = 25 – 10h + h2 + 4 – 4k + k2
10 h – 2h + 8k + 4k = 25 – 17 + 4
8h + 12k = 12 *
Como el centro esta dada en la ecuacion x – 2y + 9 = 0 reemplazamos a X por h y Y por k y nos queda
X – 2y + 9 = h – 2k +9
Despejamos h
h = 2k- 9 **
luego reemplazo el valor de h en * para hallar el valor de k
8(2k – 9) + 12k = 12
16k – 72 + 12k = 12
28k = 84
K = 3
Reemplazo el valor de k en ** para hallar el valor de h
h = 2 (3) – 9
h = - 3
centro es igual a (-3,3)
Hallamos el radio
r = √((1+3)^2+ 〖(-4-3)〗^2 )
r = √((4)^2+ 〖(-7)〗^2 )
r = √(16+ 49)
r = √65
5. Halle la ecuacion de la parabola cuyo eje de simetria sea paralelo al eje X y que pase por los puntos (3, 3) (6, 5) y (6, -3).
Conocemos que una formula de la parabola es:
y^2+ax+by+c=0
Entonces remplazamos los puntos en la formula
Para (3, 3) reemplazamos los valores
〖(3)〗^2+a(3)+b(3)+c=0
9+3a+3b+c=0
3a+3b+c= -9 (1)
Para (6, 5) reemplazamos los valores
〖(5)〗^2+a(6)+b(5)+c=0
25+6a+5b+c=0
6a+5b+c= -25 (2)
Para (6, -3) reemplazamos los valores
〖(-3)〗^2+a(6)+b(-3)+c=0
9+6a-3b+c=0
6a-3b+c= -9 (3)
Formamos sistemas de ecuaciones 3x3 para hallar los valores
3a+3b+c= -9 (1)ecu
6a+5b+c= -25 (2)ecu
6a-3b+c= -9 (3)ecu
Despejamos en (1) y (2)
3a+3b+c= -9
-6a-5b-c= 25 (-1)
-3a-2b = 16 (4)ecu
Despejamos en (2) y (3)
6a+5b+c= -25
-6a+3b-c= 9 (-1)
8b = -16
b = (-16)/8
b = -2
Reemplazamos b en (4)
-3a-2b = 16
-3a-2(-2) = 16
-3a+4 = 16
-3a = 16-4
a = 12/(-3)
a = -4
Reemplazamos a y b en (1)
3a+3b+c = -9
3(-4)+3(-2)+c= -9
-12-6+c = -9
c = -9+12+6
c =9
la ecuacion de la parabola es
y^2-4x-2y+9=0
6. Demuestre que la distancia desde el punto ( 6,2√6+2 ) de la parabola
y^2-4y-8x+28=0 hasta se foco es igual a la distancia que hay desde el mismo punto hasta la directriz.
De la ecuacion de la parabola completamos cuadrdados.
y^2-4y-8x+28=0
y^2-4y = 8x-28
y^2-4y+4-4 = 8x-28
y^2-4y+4 = 8x-24
〖(y-2)〗^2 = 8(x-3)
k=2 h=3
4a=8 a=2
Hallamos la directriz.
x=h-k
x=3-2
x=1
Hallamos el foco según la formula
F(h+a,k)
F(3+2,2)
F(5,2)
Hallamos la distancia que hay desde el punto hasta el foco y la distancia que hay desde el punto hasta la directriz.
PF =√(〖(6-5)〗^2+〖(2√6+2-2)〗^2 )
PF= √(1+24)
PF= √25
PF= 5
PD=√(〖(2√(6 )+2-2√(6 )+2)〗^2+〖(1-6)〗^2 )
PF= √25
PF= 5
Son iguales.
7. Dada la elipse con ecuacion 9x2 + 16y2 – 36x + 96y + 36 = 0, halle
Las coordenadas del centro
El eje mayor y el menor
Las coordenadas de los vertices y los focos
Dibuje la elipse
Reorganizamos los terminos
(9x2 – 36x) + ( 16y2 + 96y) = -36
9 (x2 - 4x) + 16 (y2 + 6y) = - 36
9 (x – 2)2 – 36 + 16 (y + 3)2 – 144 = - 36
9 (x – 2)2 + 16 (y + 3)2 = 144
〖(9 (x – 2))/144〗^2+ 〖(16 (y + 3))/144〗^2 = 144/144
〖( (x – 2))/16〗^2+ 〖( (y + 3))/9〗^2= 1
a2 = 16 b2 = 9
a = 4 b = 3
c2 = a2 – b2
c2 = 16 – 9
c2 = 7
c = √7
el centro (h,k) es (2, -3)
eje mayor es x y el eje menor es y
las coordenadas del vertice y focos son:
foco = ( 2 √(7 ) , -3)
vertice = (h-a,k),(h+a,k),(h,k-b),(h,k+b) entonces(-2,-3)(6,-3)(2,-6)(2,0)
8.Dada la hiperbola 9x2 – 16y2 - 36x – 32y – 124 = 0, halle:
Las coordenadas del centro
Las coordenadas de los vertices y los focos
Las ecuaciones de las directrices y las asintotas
Dibuje la hiperbola
Reorganizamos los terminos
(9x2 – 36x) - ( 16y2 - 32y) = 124
9 (x2 - 4x) - 16 (y2 + 2y) = 124
9 (x – 2)2 – 36 - 16 (y + 1)2 – 16 = 124
9 (x – 2)2 - 16 (y + 1)2 = 124 + 52
9 (x – 2)2 - 16 (y + 1)2 = 176
〖(9 (x – 2))/176〗^2+ (〖-(16 (y + 1))/176〗^2) = 176/176
〖( (x – 2))/(176/9)〗^2- 〖( (y + 1))/11〗^2= 1
a2 = 176/9 b2 = 11
a = (4 √(1 1))/3 b = √11
c2 = a2 – b2
c2 = 176/9 – 11
c2 = 77/9
c = ( √77)/3
el centro (h,k) es (2, -1)
eje mayor es x y el eje menor es y
las coordenadas del vertice y focos son:
foco = ( 2 ( √77)/3 , -1)
vertice = = (-a,k),(a,k),(h,b),(h,-b) entonces (-(4 √(1 1))/3,-1)( (4 √(1 1))/3 ,-1)(2, √11)(2,- √11)
9. Resuelva la siguiente desigualdad y represente gráficamente el intervalo solución x^2-x-2≤0
Factor izando la ecuación nos queda:
(x-2)(x+1)≤0
x-2=0 ==> x=2
x+1=0 ==> x=-1
(x-2)(x+1)≤0=> [-1,2]
10. Halle el dominio de las siguientes funciones empleando notación conjuntos y notación de intervalos
a)f(x)=1/√(16-x^2 )
16-x^2>0 ==> 16>x^2 ==>√16>√(x^2 ) ==> 4>|x|
4<|x| ==> -4
√(x^2 )≤√16
|x|≤4 ==> -4≤x≤4
x^2-4≥0
Nos queda
x^2≥4 ==>√(x^2 )≥√4==>|x|≥2
√(x^2-4)-1≠0==>√(x^2-4)≠1
Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación
Nos queda
[√(x^2-4)]^2≠(1)^2
Eliminando raíz cuadrada
[√(x^2-4)]^2≠(1)^2
Nos queda
x^2-4≠1
x^2≠1+4 ==>x^2≠5
Sacando raíces
√(x^2 )≠±√5
Nos queda
x≠±√5
Dom f(x)={x∈ R/ -4≤x≤-2, 2≤x≤4, x≠√5, x≠√(-5)
Dom f(x)=[-4,√(-5))U(√5,-2]U[2,√5)U(√5,4]
11. Exprese mediante una función de una variable independiente el área del rectángulo que tiene dos vértice en el eje X y los otros en la parábola y=16-x^2 por arriba del eje X.
El área rectangular según la grafica
A=(2x)ypero como y=16-x^2
Nos queda:
A=2x(16-x^2)
A_((x))=32x-2x^3
12. Una pista de patinaje de 400m de longitud tiene lados paralelos y extremos semicirculares, tal como se muestra en la figura. Exprese el área A encerrada por la pista en función del diámetro d de los semicírculos.
Tenemos que sea l el largo y d el diámetro de la pista, el perímetro p de la misma viene dado por
P= 400=2l+��d
De la cual despejamos l
L=200-��d/2 (1)
Por su parte el área A encerrada está dada por la fórmula
A = ��°+��∎
A = dl + ��r^2
A=dl + ��(d/2)^2
A = dl + π (d^2/4)
Que reemplazando l por su valor hallado en (1) nos deja el área en función de d
A(d)=d(200- π (d/2))+ π (d^2/4)
A(d)=200d - π (d^2/2) + π (d^2/4)
A(d)=200d - π (d^2/4)
13. Una ventana inglesa tiene forma de un rectángulo coronado con un triangulo equilátero tal como se muestra en la figura. Si el perímetro de la ventana es 30m. Exprese el área A de la ventana en función de su ancho x
Calculamos el perímetro e igualamos con la restricción dada
p=3x+2h=30 (1)
El área total consta de dos partes:
a. El área del rectángulo
AR = xh
b. El área del triángulo superior
Para calcular esta área usamos el teorema de Pitágoras para conocer la altura h ̅:
x^2=h ̅^2+(x/h)^2→(h ̅ )^2=x^2-x^2/4=3/4 x^2→h ̅=√3/2 x
El área del triangulo es:
A_T=1/2*x*√3/2 x=√3/4 x^2
El área total es:
A=A_R+A_T=xh+√3/4 x^2 (2)
Despejamos de (1) la variable h y obtenemos
h=15-3/2 x
Sustituimos por este valor en (2)
A=x(15-3/2 x)+√3/4 x^2=15x-3/2 x^2+√3/4 x^2=(-6+√3)/4 x^2
14. El gerente de una fábrica de refrigeradores observa que el lunes la empresa fabrica 30 refrigeradores a un costo de 25000 dólares y el martes fabrica 40 refrigeradores a un costo de 30000 dólares.
Halle la función lineal del costo
Si se venden los refrigeradores a 1500 dolares cada uno ¿Cuál es la función lineal de ingreso?
¿Cuál es la función lineal de utilidad?
¿Cuántos refrigeradores debe vender la empresa por dia para alcanzar el punto de equilibrio?
x≡ Numero de refrigeradores fabricados
y≡ Costo de la fabricación
Ahora:
x=30 ==>y=25000 (*)
x=40 ==>y=30000 (**)
(30,25000) y (40,30000)
Suponiendo la utilidad
Nos queda
m=(y_(2-) y_1)/(x_2 〖-x〗_1 )
Tomando como X1 y Y1a (*)
Nos queda
(30000-25000)/(40-30)=5000/10
m=500
Tomando como X1 y Y1 a (*)
y-y_1=m(x-x_1)
Remplazando valores
y-25000=500(x-30) ==>y=500x-15000+25000
y=C(x) ==>C(x)=10000+500x
p=1500
p(x)≡ Ingreso recibido por cada “X” refrigeradores
Entonces
p(x)=1500x
U(x)≡ Utilidad ==>U(x)=R(x)-c(x)=1500x(500x+10000)
U(x)=1000x-10000
PEse alcanza si y solo si la utilidad es igual a 0
Por lo tanto nos queda la siguiente ecuación
1000x-10000=0 ==>1000x=10000
x=10000/1000
Eso quiere decir que x=10 Refrigeradores
Suscribirse a:
Comentarios (Atom)